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Diseccionando el Ducémele

          La importancia de la organología en la profesión del luthier no pasó desapercibida para los grandes constructores de instrumentos musicales. Sea cual sea el sector al que se dedicase el artesano es difcil encontrar algún ejemplo entre ellos que solamente construyese  un único tipo. Así el propio A. Stradivari dejó guitarras y laudetes pese a ser el más reconocido constructor de violines. Conocer estructural, acústica y armónicamente el funcionamiento de los instrumentos musicales nos dará las armas para poder comprender nuestro trabajo y realizarlo con cierta base. En este artículo trataremos de poner de manifiesto los secretos organológicos que encierra el Ducémele y como los principios subyacentes pueden ser aplicados en la construcción de otros cordófonos.


           El Dulcémele (dulcemele, dulcimele, dulcimer de martillos y otras derivadas) es un instrumento de cuerda percutida antecesor del piano y familiar cercano de salterios, monocordios y címbalos.

          Su origen incierto se pierde tras milenios de historia, pero por su difusión a través de todo oriente y norte de europa se le atribuye un ADN persa. Su nombre proviene del Latin Dulcis y del griego meles, conformando la perífrasis “dulce melodía” tras su traducción directa.

         Organológicamente cuenta con una tapa armónica plana que adopta la forma trapezoidal que fija su caja de resonancia. La caja puede está abierta a traves de uno o varios tornavoces u oídos y que en mas raras ocasiones dispone de otras aberturas en los laterales de la caja. Esta misma caja de resonancia suele estar subdividida en tres “subcajas” que tradicionalmente eran idependiente y completamente aisladas unas de otras, siendo la propia tapa vibrante la que daba continuidad a las mismas. El número de cuerdas, siempre impar, se apoya en uno a mas puentes, siendo el número de dos lo habitual en Dulcémeles no cromáticos, aunque constructores mas actuales tienden a añadir nuevos puentes independientes para dotar de cromatismos a las escalas. Una de las características diferenciadoras con salterios y címbalos es la existencia de cuerdas cruzadas de modo que en su recorrido, las cuerdas que se apoyan en uno de sus puentes atraviesan el otro por unas abeturas practicadas al efecto. De este modo, el dulcémele presenta las cuerdas en cuatro planos inclinados, dos de los cuales se cruzan y posibilitan la ejecución por parte del músico a pesar de que las cuerdas adyacentes se encuentren muy próximas ya que lo estarán a distinta altura y no interferirán en la percusión de los macillos. Otra característica es que, al igual que el piano, las cuerdas se agrupan en órdenes unísonos que en el dulcémele se llaman “cursos” Así cada nota será emitida por dos o mas cuerdas que dada su proximidad se golpean simultaneamente. Para entendernos, puede presentar cuerdas dobles o tripes y en algunos instrumentos de concierto incluso cuatro o cinco cuerdas para cada nota.

        Una vez que entendemos el cruce de cuerdas, aquí acaba la simpleza del instrumento. Lo que en principio parte del diseño anodino de una caja atravesada con cuerdas es armónicamente mas complejo de lo que pudiera parecer a simple vista. Basta analizar el sonido del dulcémele para darnos cuenta que armónicamente se aleja mucho de salterios y pianos.

       Aunque actualmente existen instrumentos con sordinas y apagadores para evitar el sustain de cada nota ejecutada, hay una característica que los hace únicos, cuando golpeamos una cuerda la proximidad del resto hace que vibren, no solo por simpatia, sino porque se ven influenciadas por la vibración de la propia tapa armónica, por el puente único en que se apoyan que es el mismo para la mitad de las cuerdas y porque definitivamente cada cuerda da dos notas, ya que el puente divide la cuerda en dos secciones de distinta longitud, pero de tamaño suficiente para que cada sección sea utilizada como cuerda útil por el ejecutante.

El ducémele y su funcionamiento armónico:

          Para aclararnos podemos imaginar el funcionamiento del dulcémele como una guitarra que tuviese dos cajas armónicas, cada una de ellas a un extremo del mastil, de modo que cuando pisamos en un traste podemos tocar a la derecha o a la izquierda del mismo haciendo sonar una u otra seccion de la cuerda en las que la hemos dividido al pulsar este raro instrumento. Aunque no quisieramos, si tuviesemos una caja armónica en la pala de una guitarra y la cejuela actuara a modo de puente, cuando pulsamos un traste y tocamos normalmente, sería inevitable que el tramo de cuerda que queda entre el traste y la cejuela sonase también a la vez que suena el tramo de cuerda que queda entre el traste y el puente. De este efecto “raruno” se aprovecha un instrumento de todos conocidos como el el sitar (o seetar) indio, que presenta en el mástil una caja de resonancia para potenciar el sonido de la “zona no ultil” de la cuerda pulsada y de las cuerdas simpáticas, dotándolo de un sonido con una envolvente bastante peculiar.

   Es por eso que este simple instrumento empieza complicarse, ya que si tomasemos sus dimensiones sin un estudio profundo, el sonido especial del dulcémele sería un enjambre de disarmonías que lo harían imposible de afinar y de ser merecedor de un nombre que significa “música dulce”.

     Todos (o eso creo) hemos oído hablar alguna vez de la dificultad de afinación que presenta un piano ¿no os parece inconcebible que existiendo afinadores electrónicos ultrasensibles y superfiables, afinar un piano no se pueda hacer siguiendo el dictado de uno de estos aparatos? Pero es que no van por ahí los tiros. Si tu analizas por separado las frecuencias de cada tecla de un piano te darás cuenta que “está desafinado” y eso es porque al tener tantas cuerdas juntas, sujetas en un solo arpa que apoya en una sola tabla armónica no pueden dejar de producirse disarmonias que hacen que si afinamos “matemáticamente” un piano suene desafinado. No quiero profundizar demasiado en esto que se ha tratado con anterioridad en el foro, pero básicamente adaptamos la escala de modo que alargamos las octavas al lado de los agudos y las acortamos en los graves para que el piano termine sonando bien. Y eso ocurre porque el piano es un instrumento cromático, con muchas cuerdas juntas que vibran por simpatia cuando golpeamos una de ellas. Estas vibraciones interfieren en la vibración de la propia cuerda que golpeamos y modifica su tono. Pues bien, algo hay de todo esto en el dulcémele, salvo que en lugar de evitarlo el ducémele consigue aprovecharlo.

            Pero antes de centrarnos en este aspecto debemos entender un poco la afinación tradicional del instrumento. Huelga decir que en muchos instrumentos se opta por afinaciones que le son cómodas a los ejecutantes por la posibilidad de crear acordes polifónicos, sin embargo, pasa desapercibido para muchos profesionales de la lutheria y para bastantes músicos que el hecho de afinar un instrumento de una forma u otra alternativa influye además en la forma de sonar del instrumento y en cómo se comporta estructural, armónica y acústicamente. Lo mas obvio es el volumen, así una guitarra española afinada con los intervalos estandar pero afinada partiendo de Re en lugar de Mi sonará con menos volumen y con un timbre mas apagado debido a la perdida de tensión general de las cuerdas, pero al margen de eso, podríamos modificar el calibre de las mismas para que comparativamente una guitarra afinada en RE tuviese la misma tensión que una guitarra afinada en Mi. El resultado seria parecido en ambas guitarras ¿pero qué ocurre si afinamos las cinco primeras cuerdas en estandar y la sexta la bajamos a Re e intentamos tocar acordes en los que la sexta cuerda no se pulse? Básicamente estas guitarras sonarán distintas aunque no pulsemos la 6ª ya que esa guitarra tendrá una sonoridad “mas cantarina y compleja” en acordes en los que la tónica o la dominante sean RE o estén influenciadas por notas afines a RE, es decir, sus quintas y sus cuartas el SOL y el LA. Un ejemplo clarísimo lo tenemos en instrumentos como las mandolinas, bouzoukis, violas de gamba, dulcimeres y en las guitarras cuando las afinamos en acordes abiertos. En la mandolina cada cuerda es la quinta perfecta de la anterior, lo cual hace que su sonido sea rico en armónicos, pues al ser monofónico, independientemente de la nota que toque el ejecutante, siempre habrá dos o tres órdenes cuya relación es de una quinta que vibrarán armónicamente entre ellos aunque sean disonantes con la nota ejecutada; esto dotará al sonido de una envolvente única y diferenciable de otras afinaciones distintas. Podemos seguir abundando en esto mismo con mas ejemplos aunque creo que poco mas aportaría, pero quedemonos con un dato: el resto de cuerdas y su afinación influyen en el sonido más alla de que nos obligue a adaptar nuestras posturas al tocar. Esta influencia será positiva en determinados casos (como en el dulcémele) o negativa (como en la afinacion del piano).

           Si hablamos con alguien que haya estudiado y aprendido a tocar el ducémele de forma académica nos definirá el instrumento como un piano en el que se dispongan las teclas de forma “espacial”, en lugar de situarse en un mismo plano el teclado, las teclas ocupan las tres posiciones del espacio, encontrando el neófito cierta dificultad para entender dóde se ubica cada nota y porqué parecen tener una disposición tan fuera de toda lógica. Esto se debe precisamente al hecho de que en la disposición de las notas no se ha primado una progresión natural de las escalas, sino que la evolución del instrumento ha propiciado una combinación de cuerdas que minimice las disarmonías simpáticas en pos de aprovechar al máximo las armonías por influencia, ya que en este instrumento son inevitables y a la vez lo dotan de su sonoridad especial. Si fuesemos capaces de evitarlas y las entendiéramos como un defecto, convertiríamos el sonido del ducémele en el sonido del piano, entrando en una disyuntiva que me atormenta ¿hasta donde se puede mejorar un instrumento sin que este pase a ser otro distinto?

           Analicemos como lo hacen estudiando una cuerda de forma aislada. Uno de los puentes, el llamado central, divide a la cuerda en dos secciones utilizables, es decir, a esa cuerda podemos golpearla a la derecha o la izquierda del puente central obteniendo dos notas distintas. Si se primase la comodidad en la ejecución podriamos hacer los cálculos tales que para una misma tensión en toda la cuerda, la ubicación del puente y el tamaño del instrumento ofreciera, por ejemplo, un Do a la izquierda del puente y un Do# a la derecha, Es decir, un intervalo de segunda menor. (Si recordamos los intervalos los hay Consonantes y Disonantes, siendo el de segunda menor un disonante absoluto).

    • Consonancias perfectas: los intervalos de 4ª, 5ª y 8ª cuando son justas.
    • Consonancias imperfectas: los intervalos de 3ª y 6ª cuando son mayores o menores.
    • Disonancias absolutas: los intervalos de 2ª y 7ª mayores y menores.
    • Disonancias condicionales: todos los intervalos aumentados y disminuidos, excepto la 4ª aumentada y la 5ª disminuida.
    • Semiconsonancias: la 4ª aumentada y la 5ª disminuida.

           Esta distribucion más lógica de la disposición de las notas resulta por contra la de mayor disarmonía posible. Sería cómodo tocar sabiendo que en cada cuerda, a cada lado del puente, tenemos la nota y su semitono superior como si se tratase de blancas y negras de un piano. Pero ha sido precisamente de la disposición de las cuerdas del piano de la que huye la evolucion del ducémele.

          Para evitar disarmonías, el puente central divide la cuerda en dos secciones tales que para una misma tensión y calibre, el tramo de la derecha quedará afinado en la fundamental y el de la izquierda en una quinta justa, de modo que la influencia inevitable al golpear uno de los tramos produzca una nota en consonacia perfecta en el segundo tramo.

         Si la cuerda que analizamos es una de las que apoya en el segundo puente, llamado puente de graves, ocurre algo similar; a la izquierda del puente se producirá la nota precisa mientras que a su derecha obtendremos la misma nota pero dos octavas mas alta: De nuevo la disposicion y tamaño del instrumento propicia un intervalo de consonancia perfecta y evita disarmonías por influencia.

         Ahora ampliemos nuestro zoom y estudiemos como se comportan dos cuerdas adyacentes. Por lo pronto notamos que apoyan en puentes distintos, si la primera apoya en el puente central, la inmeditamente superior apoyará en el puente de graves. Esto va a reducir la influencia directa por vibracion de la tapa armónica y del propio puente ya que pese a estar muy cerca evita que sus apoyos se encuentren próximos. Si recuerdas la descripcion del instrumento, por su disposción en planos inclinados que se cruzan, podemos entender que una cuerda y la cuerda contigua no se pueden ejecutar a la vez pues pese a ser la que más proxima espacialmente se encuentra, tendriamos que desplazarnos de un puente a otro para poder percutirlas, asi que aunque son cuerdas adyacentes en el espacio, a la hora de ejecutar nos daría igual que esuviesen afinadas en notas no consecutivas o sin relacion lógica alguna, pues si lo comparamos con un teclado o con los trastes de una guitarra, no serían teclas o trastes contiguos.

        Por tanto, dado que la influencia armónica entre cuerdas adyacentes es mucha y por el contrario la necesidad de dar un orden logico en estas cuerdas no es necesaria por no ser “teclas contiguas” a la hora de ejecutar ¿por qué no volver a un intervalo de consonancia perfecta? Y así lo hacen, la relacion entre la cuerda que apoya en el puente central con su cruzada contigua que apoya en el puente de graves es de una quinta justa.

        Si atendemos solo a la zona central donde se cruzan las cuerdas de ambos puentes, la primera cuerda del puente central la afinamos en LA, su cruzada en el puente de graves será una quinta perfecta a esta MI, la siguiente del cruzada con esta que apoya en el puente central será una quinta del MI, es decir un SI, si continuamos ahora del puente de graves será un FA, cruzada con FA será el DO, tras el DO el SOL, tras el SOL un RE…..

       Una genialidad, pues buscando minimizar las disarmonías por influencia , si miramos el tramo de la derecha de las cuerdas que apoyan en el puente central vemos que tenemos esta progresión: LA, SI, DO RE.de modo que el ejecutante puede localizar para cada puente un orden progresivo de una escala diatónica, en el puente de graves ocurre mas de lo mismo, MI, FA, SOL, LA y si miramos ambos puentes en conjunto tenemos LA SI DO RE MI FA SOL LA que engloban ya las siete notas de la escala y alcanza la octava repitiendo el LA. Esto que sirve para la unión de los dos puentes también se repite para el puente de agudos, de modo que con como llevan la misma relacion de quintas justas, si tomamos cuatro cuerdas consecutivas del puente central, a su izquierda y derecha se encuentra una escala y una octava completa.

        Estos persas empezaron a usar la matemática pura y por no ampliar mas el alcance de este artículo pero con anterioridad a la escala bien temperada y los cromatismos, la musica se entendia como la deriva de un círculo de quintas perfectas (la música de las esferas) y son estos principios los que se aplican en este instrumento. También por no complicar la comprensión y persiguiendo fines puramente didácticos se ha obviado que en el ducemele se ejecuta musica modal y que normalmente no se afina en Do natural (aunque todo lo dicho se cumple) sino que es habitual que lo encontremos afinado de modo distinto, en cada octava (grupo de cuatro cuerdas a ambos lados en el puente central) que se construyen a partir de lo que denominamos anclas del puente, de tal forma que lo que en principio era un instrumento diatónico, si cada cuatro cuerdas construyo una escala modal partiendo de la fundamental que nos encontremos, como si nos olvidaramos de las anteriores, podremos ejecutar sin disarmonías canciones en Re, sol, do, fa y la, escalas que encontraremos solapadas a lo largo de las cuerdas consecutivas del puente central. Mas sobre su afinación real se encontrará al final del artículo por si quereis segur analizando por vosotros mismos la distribucion de las notas.

El dulcémele y sus matemáticas:

        Como veis, esa tabla con cuerdas encierra determinadas sorpresas, pues sus constructores no se conformaron con que sonaran, sino que analizaron la forma de mejorar el salterio buscando la relacion positiva entre las cuerdas. Analicemos las matemáticas que emplearon en el instrumento, pero no os preocupeis que sus fundamentos matemáticos son simples, porque los pitagorícos no los inventaron, sino que los descubrieron, ya que estaban ahí antes de que nadie los enunciara. De hecho hay un grabado antiguo en el que se ve a pitágoras jugando con un monocordio mientras lo analizaba. Fue uno de sus seguidores, Arquitas de Tarento, contemporáneo de Platón (S. V AdC) quien enunció:

““…en la música existen tres medias: la primera es la media aritmética; la segunda

es la geométrica; la tercera es la media subcontraria, llamada armónica…””

           La media arítmética se expresa matemáticamente como:

           Pues bien, analicemos la octava sustituyendo las variables a y c por los valores de los extremos de una octava, las frecuencias de Do y Do’ 

         Frecuencia esta última que se corresponde de manera muy aproximada a la frecuencia de la nota Sol. Si ahora buscamos la relación entre las frecuencias de Sol y Do encontramos que es aproximadamente una relación de 3/2  

         La media armónica tiene esta fórmula b=2ac/(a+c) que si sustituimos a y c por las frecuencias de Do y Do’ obtenemos 348 que corresponde aproximadamente a la frecuencia de la nota FA y al comprobar la relacion del intervalo de cuarta 348/261 obtenemos muy aproximadamente 4/3

       Que no se me pierda nadie que ahora veremos la utilidad de todo esto. Vamos a por la tercera media o media geométrica. Se expresa como a/b=b/c con lo que obtendríamos la frecuencia de la nota en la siguiente escala. Si sustituimos a oor la frecuencia de Do, b por la frecuencia de Do’ y despejamos c para obtener Do» alcanzamos aproximadamente 1044, con lo cual la relación del intervalo de octava 261/522=522/1044 igual a 2/1

 (Podeis seguir viendo relaciones las bases pitagóricas de nuestra música actual en los anexos, pero por ahora no profundizaremos más para no alejarnos del objeto de este artículo.)

         Volvemos al dulcémele, Con el último cáculo hemos determinado que la relación del intervalo de octava es de 2/1 y ¿en que se traduce eso en el oficio del luthier? Pues en que cualquier constructor de instrumentos de cuerda sabe que si dividimos la longitud de una cuerda por la mitad, el tono que obtenemos es una octava superior al inicial, pues duplicamos su frecuencia. Asi que por paralelismo si nosotros determinamos que entre la longitud de la cuerda hay una relacion inversamente proporcional ya que al dividir por la mitad doblamos la frecuencia.

         Estudiemos la relación de quinta que es la utilizada en el Ducémele, sabemos por la fórmula que la relacion es 3/2, es decir que la frecuencia de la quinta con respecto a la frecuencia de la fundamental es 3/2=1+1/2 , al igual que relacionamos la octava con la longitud podemos relacionar las longitudes de una nota y su quinta, para ello tenemos que cortar la cuerda en 1/3, es decir, la longitud para obtener la quinta es 2/3 de la longitud original.

        Cuando hemos estudiado la estructura armónica del dulcémele hemos visto que en el puente central asociamos cada nota con su quinta, por tanto partiendo de estos números podemos determinar la posición del puente para una longitud de cuerda dada.

        Así, si a la derecha del puente tenemos una longitud x, a su izquierda tendremos 2/3 de x, siendo la longitud total de la cuerda [x+(2/3)x] ó 5/3 de x

        Imaginemos por un momento que estamos estableciendo las bases para construir nuestro primer dulcémele, diseñamos nuestro trapecio y proponemos una distancia total de la cuerda de 84 cm. Si despejamos x en la fórmula de la longitud total de la cuerda sabemos la colocación teórica de nuestro puente para esa longitud dada:

L=x+(2/3)x—> L= (1+2/3)x—> L=(5/3)x—> x=(3/5)L

      Con esto sabemos que para todas las cuerdas, el puente que llamamos central deberá dividir la cuerda en sus tres quintas partes, con lo que si sustituimos L por el valor propuesto obtendremos el punto exacto:

x= 84*3/5 =50,4 cm

        En el puente de graves actuamos del mismo modo pero utilizando la relación de octava, asi sabemos que La longitud total será igual a L=x+[(1/2)*(1/2)]x de modo que obtenemos una relación de entre L y x de 5/4 que al despejar queda invertido x=4/5L para que al colocar ese puente la cuerda quede dividida en la fundamental y su nota dos octavas por encima.

         Para ir concluyendo, matemáticamente en el Ducémele encontramos la base de la armonía universal que define Boecio (S.V-VI d.C) en su tratado de aritmética. Boecio proponía que la igualdad 6/8=9/12 representaba la armonía del mundo, y estos principios rigieron hasta la edad moderna pues fueron los tratados de Boecio la base del cristianismo medieval y fué considerado como el unificador de la filosofía y la religión pese a no haber escrito jamás sobre el tema.

        Ambas fraciones 6/8 y 9/12 son equivalentes a ¾ que a su vez es la relación de una cuarta perfecta, y si la fracción izquierda de la cuerda que apoya en el central corresponde a una quinta de la fraccion derecha, la fracción derecha no deja de ser una cuarta de la de la izquierda, ya que la extensión de una octava se define como la suma de una cuarta y una quinta sucesivas. O lo que es lo mismo, una cuarta es la relación entre la quinta y el extremo superior de la octava.

       Para los amigos de lo místico tenemos aquí materia para elucubrar la concepción de este instrumento como el fiel reflejo del universo y su armonía. De hecho, se establecen como numeros mágicos los cuatro que quedaron representados en la igualdad de Boecio, asi el 6, 8, 9 y 12 podrian servir como ejemplo de la conjuncion de estas teorías con este intrumento ya que 6/8= ¾ o intervalo de cuarta, 6/9=2/3 intervalo de quinta, 6/12=1/2 o intervalo de octava y 8/9 que es el intervalo de segunda o intervalo de tono, con lo que con la sucesión 6,8,9 y 12 podemos definir todas las relaciones de proporcion que vinculan a las notas de una escala musical.

Conclusiones:

          No se si el lector habrá quedado sorprendido de cómo los antiguos constructores emplearon (quizás sin saberlo) los fundamentos teóricos de la armonía, pero lo que verdaderamente es de admiración es que ya sea empírica o matemáticamente, la forma final del instrumento y la distribucion de escalas ha buscado optimizar el rendimiento armónico y tratado de eliminar las consecuencias adversas de la influencia de las cuerdas simpáticas en la vibración de la cuerda percutida en cada caso. En este aspecto parece haber llegado a conseguirlo, es decir, armónicamente se trata de un instrumento “optimo”. Es un instrumento ideal para entender la luthería y como son cientos de factores los que influyen en el resultado final de nuestro trabajo. Factores que muchos artesanos pasamos por alto, por desconocimiento o por la pura imposibilidad de tenerlos en cuenta todos y en todas las ocasiones.

        Este artículo ademas de dar alguna respuesta lo que pretende es generar preguntas del tipo “¿porque se hace así? O ¿que ocurre si? y que aporte una visión mas amplia de la organología de los instrumentos; incluso de aquellos que nos son mas familiares y cercanos que el propio dulcimele. Así, mas allá de lo puramente estructural, aguien podrá plantearse que añadir dos cuerdas más a una guitarra debe entrañar un análisis mas profundo que la necesidad de darle espacio y aumentar la resistencia de la tapa, pues armónicamente su influencia deberá ser prevista. En ocasiones diseñamos o adaptamos diseños de instrumentos y adoptamos soluciones que fueron propuestas para otros distintos sin saber si son las soluciones óptimas para nuestro problema concreto. De esa forma ¿agún lector se ha panteado alguna vez si el fondo de una guitarra debe ser paralelo a la tapa armónica y en qué influye concretamente el hecho de construirlo con un ángulo u otro? En caso de ser paralelos ¿deben vibrar ambos? Y asi cada uno de ellos podrá escribir su articulo con las armas que le ofrece el conocimiento de la organologia general de los instrumentos musicales, pues ¿no son acaso paralelos tapa y fondo en un piano?¿vibra el fondo?¿por qué? por tanto os animo a buscar vuestras respuestas con cierto fundamento mas allá de lo que dijo fulano o mengano.

        Terminando. Alguien que creyese a pies juntillas la conclusion aquí plasmada de las tribulaciones de este pobre luthier chiflado podría pensar que en el dulcémele ya está todo inventado, y por extensión que en la luthería ya está todo el camino andado, pues yo afirmo en su desarrollo que el ducémele alcanzó su configuración óptima. En ese caso de nada ha servido este artículo pues se me habrá malinterpretado en lo que intenté expresar y en la motivación que me movió a hacerlo. Primero mal estaría si no pusieseis en tela de juicio este escrito y segundo: la soluciones en esta profesión suelen ser infinitas, por tanto jamás tendremos la certeza de haber adoptado la mejor de todas.

        Por otro lado yo solo he tratado en estas letras el aspecto armónico del instrumento y como este a condicionado la distribucion de cuerdas y la forma final, pero nunca he afirmado que acústicamente el instrumento no sea mejorable, Podemos incidir e investigar si la distribucion de refuerzos en la tapa no aumentaria el volumen sin sacrificar su resultado armónico, si las subidivisiones de la caja son necesarias o si por el contrario unir dos o los tres compartimentos potenciaría alguna característica valuable, incluso podemos ver si son óptimos los calibres de cuerda si usando otra progresion de calibres los puentes rectos pueden ser sustituidos por puentes curvos que optimicen la sonoridad al repartir los apoyos en la tapa de forma distinta a lo que lo hacen ahora. Nadie dijo que esto fuese fácil pero el dulcémele es terreno abonado para la investigación. El ser capaces de analizar y extrapolar los resultados obtenidos al campo en el que estemos habituados a trabajar ya es cuestión de cada uno.

     Para aquellos neófitos interesados en la construcción del Dulcémele o aquellos que no quieran realizar su propio diseño del instrumento, con idea de contribuir al sostenimiento de la web, estoy desarrollando un plano y un manual de construcción que estará disponible a medio plazo y del que podreis tener noticias escribiendo a

ANEXOS:

Raices pitagóricas de la escala musical moderna.

         La estructura matemática de la música despertó el asombro de los filósofos de la escuela pitagórica. Tras la definición de estos patrones, todos los tratados de música posteriores se nutrieron de la base enunciada por esta escuela. Los principios subyacentes son válidos incluso tras la revolucion que supuso las modificaciones implementadas por J.S. Bach en el XVII en su obra el clave bien temperado.

        Antes de ésto, Boecio (S.VI d.C), en su tratado sobre música, desarrolló los principios pitagóricos y amplió el horizonte hasta los cromatismos. Este tratado fue el que rigió en toda la musica elaborada en el occidente cristiano medieval. Boecio entendió la música como una concepción moderna del conocimiento, y fijó el quadrivium (cuatro caminos hacia la sabiduría) que comprendia las cuatro ciencias matemáticas: Aritmética, geometría, música y astronomía. Este autor definió el centro de la escala natural en la segunda nota (el Re) ya que si fijamos ahi el centro, tenemos una simetria de intervalos tanto si subimos por la escala como si bajamos por ella. Por eso casi todas las obras de música sacra escritas en el medievo se inician en Re.

        Cuenta Porfirio que pitágoras habia adquirido conocimientos musicales en sus viajes a Babilonia y Egipto, pero que fue escuchar como distintos martillos al golpear el yunque de una herreria emitían soidos distintos y concordantes lo que suscitó su interés por los principios matemáticos que encerraba el sonido. No les fue desconocido que el sonido emitido por cada martillo dependia única y exclusivamente de su masa, sin importar la fuerza. Eso le llevo a investigar con un monocordio a los que distintas pesas daban tensiónes a las ditintas cuerdas, estableciendo una relacion entre la tensión de la cuerda y el tono emitido por esta. Tampoco les pasó por alto que la nota emitida dependía de la longitud de la cuerda y no solo de su tensión y establecieron que existia una propiedad que relaciona nota y distancia y que esta era extensiva a cualquier clase de objeto, pues en un tubo por el que circulaba aire se producian diversas notas musicales cuando se dividía en diferentes partes su longitud. Hallaron las relaciones matemáticas entre la octava, el intervalo de quinta, de cuarta, y tambien el intervalo de tono, pero no habia concordancia matemática que diese lugar al semitono ya que pese a su nombre no coresponde a ninguna de las medias entre los dos extremos de un tono, asi que la única forma de definir el semitono era como el “sobrante de la quinta” ya que un intervalo de quinta contiene tres intervalo de tono y algo más a lo que denominaron semitono. Sin embargo esta regla seguía sin funcionar para el intervalo de cuarta, ya que no todas las notas encierran la misma distancia en el intervalo de cuarta (dos tonos y un semitono) sino que la cuarta de Fa era por necesidad una cuarta aumentada (tres tonos), con lo cual si desandaban el circulo de quintas haciendo un circulo de cuartas los resultados desvelaban la existencia de todos los cromatismos de la escala que actualmente conocemos; pero no fue hasta Filolao (S.IV a.C., discípulo de Pitágoras y precursor de la “numerologia universal”) que definió la razón matemática del semitono.

Distribución real de las notas en un ducémele.

         Hemos apuntado en el articulo que las notas en este intrumento se ordenan atendiendo a principios armónicos y no al hecho de favorecer la ejecución. También se dejaba en el aire que no está afinado en un tono concreto y que pese a ser un instrumento diatónico tiene cromatismos y que este aspecto no lo convierte en un instrumento cromático. Esto se debe a que cuando afinamos el ducémele lo hacemos según escalas independientes solapadas, es decir, si miramos las notas a la derecha del puente central de cuatro cuerdas concretas vemos la progresión de grave a agudo de el principio de una escala de LA. Esta escala de LA quedaría completa si atendemos a las notas del lado izquierdo del puente que ya sabemos que son las quintas perfectas de las notas que aparecen a la derecha.

8   LA——-RE   4

7   SOL#-DO#   3

6   FA#—–SI   2

5   MI——-LA   1

         De esta forma, si ejecutamos siguiendo el numero de orden propuesto (del 1 al 8), obtendremos la escala mayor de LA. Hasta ahi nada parece fuera de lo normal y podríamos seguir este mismo patron en las notas sucesivas, aunque en realidad no ocurre así. A partir de la cuarta cuerda comenzamos de nuevo a afinar pero otra tonalidad.

          En este caso la ultima cuerda de la escala anterior servirá como base a la nueva escala y será la primera cuerda de la nueva escala.

8 LA—RE 4

          De esta forma construiremos la escala de RE, ya que es la primera nota que aparece abajo a la derecha

8    RE—-SOL    4

7     DO#–FA#    3

6     SI——MI    2

5     LA—–RE    1

Ahora haremos lo mismo de nuevo pero esta vez partiendo de la cuerda “RE-SOL” y afinaremos siguiendo el patrón de la escala de SOL.

      Como podreis observar, hasta ahora todo lo dicho coincide con los fundamentos analizados en el desarrollo armónico de la construccion del ducémele, salvo que en la exposición del artículo, para facilitar su comprensión, obviamos explicar que en realidad se trataba de una suceción de escalas encadenadas.

       Para completar la afinación del instrumento nos queda entender que si miramos ahora el puente de graves situado a la derecha del instrumento, sus notas cumplen la misma regla que las notas del puente central, cada cuatro cuerdas comienza una nueva escala, Pero en lugar de completar la escala con el lado alternativo del puente (que sabemos que dará una nota dos octavas mas alta que la fundamental), completaremos la escala con las notas que nos proporciona el lado derecho del puente central. Por ello, si la primera nota que hemos definido para el lado derecho del puente central, para repetir el patrón, corresponderá a la quinta perfecta de la escala de la primera cuerda del puente de graves. Como una quinta son tres tonos y un semitono, si a LA (que hemos usado como ejemplo para la construccion de la primera escala del puente central) le restamo tres tonos y medio obtenemos un RE , por tanto las cuatro primeras cuerdas del puente de bajos las afinaremos siguiendo el patron de las cuatro primeras notas de la escala de RE mayor. Así serán RE, MI, FA# SOL. Se completará la escala con las cuatro primeras notas del puente central, que en nuestro ejemplo eran LA SI DO# RE.

      Como la cuarta nota de la sucesión del puente de graves es un SOL, construiremos a partir de ahi las tres notas siguientes de la escala de SOL mayor, y veremos que se cumple que la escala de SOL mayor se completa con las cuatro notas sucesivas en el puente central. Y esta maniobra repetiremos para cada grupo de cuatro cuerdas hasta completarlas todas.

         Podremos comprobar que no se trata de un instrumento cromático, aunque sí se trata de un instrumento diatónico con crmatismos ya que, salvo la escala de Mi y de Si, el resto de escalas se encuentran representadas en la tabla, lo que nos aporta muchas mas posibilidades que si se tratara de un instrumento puramente diatónico. La disposicion de las escala nos permite tocar siguiendo unos patrones fijos que nos facilitarán la ejecución y tener un control de la ubicación de las notas.

        Un paso siguiente sería encontrar en este tejido las triadas mayores y menores que podemos construir con todas las notas que pone a nuestro alcance, pero eso ya excedería lo que pretende abarcar este artículo. Esto requeriría un monográfico sobre el aprendizaje del instrumento y ni tengo la formación necesaria y tampoco encajaría del todo en la temática de esta web.

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